??? 摘 要: 提出一種新的方法用于高精度數據采集" title="數據采集">數據采集片上系統" title="片上系統">片上系統的動態性能測試" title="性能測試">性能測試。該方法利用高維空間幾何矢量投影的思想，將正弦響應信號向由其各次諧波組成的正交基投影來擬合測試數據，以殘差的負熵作為擬合結束的判據，使殘差最大限度接近白噪聲" title="白噪聲">白噪聲，避免了傳統以殘差最小為判據的過擬合問題。實驗證明了該方法的有效性。
??? 關鍵詞： 高維空間投影? 負熵? 白噪聲? 動態性能
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??? 集成電路進入SoC時代，整個電子整機的功能被集成在一塊芯片上。TI公司推出的高精度數據采集片上系統MSC1200系列芯片就將數模轉換器、可編程增益放大器、高精度片上電壓參考或外部差分電壓參考、片上溫度傳感器、片上校準、高精度多通道模擬開關等模擬電路和增強型8051處理器內核、閃存、SRAM、I/O端口、累加器、UART、計數器/定時器等數字電路集成在一個芯片上。在設計分析這種片上系統時，需要測試芯片的模擬性能。此時要將數模轉換器(ADC)、放大器(Amplifier)、電壓參考源、模擬開關等的性能作為整體系統性能(包括靜態性能和動態性能)進行測試。靜態性能測試較為簡單，測試方法亦很成熟，但動態性能受很多因素影響，因此測試變得十分復雜。隨著模擬電路性能,ADC、DAC精度的提高，對測試的要求也越來越高,全面表征這些數據采集片上系統的參數多達數十項。例如信噪比(SNR)、信噪諧波比(SINAD)、有效位數(ENOB)、總諧波失真(THD)、無雜散動態范圍(SFDR)、非線性等[1]。
??? 傳統集成電路性能測試大多采用正弦激勵法。快速傅立葉變換(FFT)法是模擬集成電路性能測試中最常用的方法，其優點是直觀、簡便，但測試精度低[2]。正弦擬合法常用在對ADC諧波失真的分析測量中，對高精度數據采集片上系統的性能測試不能試用,并且可能產生過擬合問題。本文利用高維空間幾何矢量投影方法研究測試數據的函數擬合問題，為高精度數據采集片上系統的性能測試提供新的方法。
1 基本思想
??? 高精度數據采集片上系統在正弦測試信號激勵下，經過片上放大器、模擬開關、電壓參考源、模數轉換器組成的系統后，在輸出端得到離散的數字信號序列(y1,y2,…,yN)。本文研究的測試限定在：(1)測試激勵信號為純正的正弦信號；(2)正弦測試信號頻率f0和采樣頻率fS滿足f0=fS·M/N，其中N為序列采樣點的數量，M為正整數。
??? 設正弦測試信號的頻率為f0，在輸出端采用fS的抽樣頻率進行采樣，得到采樣序列Y=[y1,y2,…,yN]T，在實際系統中，Y不可能是理想的正弦信號，而是包含了一定的諧波分量、零漂及溫漂和白噪聲。記為：
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式中，第一項為理想的正弦響應的基頻項；第二項為諧波項。一般來說,N個采樣點最多包含N/2次諧波項，因為N個采樣點組成一個N維空間矢量，而各次諧波的正余弦分量可以看作是N維空間的正交基，每次諧波包含兩個正交基，因此N個采樣點最多包含N/2次諧波項；第三項為非線性失真，它主要是由零點漂移和溫漂引起的，可以用自變量為時間的一次多項式來擬合;第四項n(t)為加性高斯白噪聲" title="高斯白噪聲">高斯白噪聲，包括量化噪聲、采樣時鐘抖動引入的噪聲、系統的熱噪聲等，它是獨立于前幾項隨機產生的。
??? 為了表征片上系統的性能，本文采用高維空間幾何矢量投影的方法擬合出采樣序列的各個組成部分，使擬合誤差盡可能地接近白噪聲。各組成部分的計算方法如下。
1.1 均值和時間的一次項
??? 首先要去除觀測信號中由零點漂移和溫漂引起的均值和自變量為時間的一次項，也就是式(1)中的第三項。因為采樣點數為基頻周期的整數倍，所以可以通過計算均值得到B0的初始值，通過計算過零點的斜率計算出一次項系數的初始估計值B1，然后反復微調該值，使殘差中的均值和一次項系數均接近于零，即可確定精確的均值和一次項系數。
1.2 基頻和諧波分量
??? 記Y′為Y中去除溫漂和零點漂移后的部分，它包含了基頻f0成分、諧波成分以及高斯白噪聲。由經驗可知，Y′中包含的基頻成分是最主要的成分，并且諧波分量的幅度是遞減的。頻率f0的前N/2次諧波的正余弦分量可以看作是N維空間的正交基。由高維空間理論可知，任何N維的數據都可以由這N個正交基完全表示。在擬合過程中一般只取前m次諧波。關于確定m取值的方法，傳統方法是以殘差最小作為目標函數，但是這一方法忽略了殘差為白噪聲這一性質，將會產生過擬合問題。因為白噪聲也被表示成諧波分量，同時也不符合實際物理意義。
??? 為了避免這個問題，本文采用殘差為白噪聲這一判據來確定諧波次數m的選取。首先將Y′在單位基向量sin(2πf0t)和cos(2πf0t)上投影，求出基頻的幅度和相位，然后從m=2逐次遞加地向其第m次諧波分量上投影。每增加一次諧波分量，計算Y′投影后的殘差r1的負熵，直到r1的負熵小于某個閾值時停止，即擬合出式(1)中的前兩項，記為YS。投影后Y的殘差記為Y=Y-YS，即為白噪聲項。
1.3 白噪聲的衡量
??? 本文提出的算法的目標是使擬合的殘差最大限度地接近于高斯白噪聲，這樣也更符合真實的高精度數據采集片上系統的噪聲情況。前面提出判斷殘差Y為高斯白噪聲，可以采用負熵(negentropy)作為判斷的指標[3]。隨機變量的負熵定義為：
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式中，ygauss是和y具有相同方差的高斯隨機變量。最大化J(y)即是最大化非高斯性。因為y的概率密度分布函數未知，嚴格計算它的熵比較困難。參考文獻[4]中指出可以采用近似逼近的方法來計算：
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式中，G1、G2為任意的非二次函數，G1為奇函數，G2為偶函數；k1、k2為正常數；v為零均值單位方差的高斯變量。
2 仿真及實驗結果
??? 為了驗證該高維空間幾何矢量投影方法的準確性，對高精度數據采集片上系統的動態特性進行如下仿真。假定：被測ADC的分辨率為14位,采樣頻率fS=1MHz，輸入正弦信號頻率為10kHz。測試正弦信號的輸出Y包(含五次諧波，其幅度分別為0dB、-70dB、-84dB、-90dB、-100dB)，其總諧波失真THD（Total Harmonic Distortion）為-69.7848dB，并且用一次多項式來模擬正弦信號的零漂和溫漂;白噪聲項采用高斯分布的白噪聲,該項的信噪比(SNR)為-50.9134dB;輸出Y總的信噪諧波比SINAD(信號與噪聲+失真之比)為-34.6937dB。
??? 采用本文提出的高維空間投影的方法擬合Y中的各項，得到的結果如圖1所示。從圖1可以看出，本方法能夠有效地對ADC的動態特性進行模擬，模擬結果中的噪聲項最大限度地接近高斯白噪聲。
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??? 本文還驗證了對不同頻率、不同諧波失真的測試信號的模擬結果，計算并比較模擬前后諧波失真(THD)，白噪聲的信噪比(SNR)以及Y的總的信噪諧波比(SINAD)的變化，結果數據如表1所示。
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??? 從表中的數據可以看出,該高維空間投影的方法能夠以較小的誤差模擬ADC動態特性的各個參數，同時使余差的負熵接近于零（達到10－4），最大限度地接近于高斯白噪聲，避免了過擬合。
??? 本文采用高維空間幾何矢量投影的方法，研究了高精度數據采集片上系統在測試正弦信號激勵下的動態性能，將正弦響應信號向基頻及諧波組成的正交基投影。為了避免傳統以殘差最小為指標的投影擬合方法會產生過擬合的缺點，本文以殘差的白噪聲性（負熵）作為擬合的判據，使最終擬合結果的殘差最大限度接近于白噪聲。經實驗證明，該方法能夠有效地對數據采集系統的失真的各參數進行評估，并且具有計算簡便的優點，具有一定的實用價值。
參考文獻
[1] ?邱兆坤，王偉，馬云,等. 一種新的高分辨率ADC有效位數測試方法[J].國防科技大學學報，2004，26(4):1-5.
[2] ?高曉明，李春明，孫圣和. 動態非線性失真測量的譜平均方法[J].計算機自動測量與控制，1993，(2):11-14.
[3] ?HYV?魧RINEN A. Fast and robust ?fixed-point algorithms for independent component analysis[J]. IEEE Trans on Neural Network, 1999, 10(3):626-634.
[4] ?HYVARINEN A, KARHUNEN J, OJA E. Independent component analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc, 2001.