摘 要： 基于濾波多音頻(FMT)技術的系統結構，給出了系統中濾波器組" title="濾波器組">濾波器組的設計，針對系統的某些特定要求對濾波器組的設計方法" title="設計方法">設計方法進行了優化，并對無線信道中優化前后的系統性能進行了仿真實驗比較。結果表明，濾波器組的優化設計" title="優化設計">優化設計改善了系統的性能。
關鍵詞： 濾波多音頻 濾波器組 最小均方誤差" title="均方誤差">均方誤差法(L2) 優化設計
下一代的無線通信需要向用戶提供高速可靠的數據通信業務，因此未來的無線通信系統應具備較強的抗多徑能力和較高的頻譜利用率。多載波調制就是一種有效的信息傳輸技術，它采用多個子載波并行地傳輸信息符號，使得每個子信道內的符號時間大大延長，系統即可有效地克服傳輸信道所造成的符號間干擾(ISI)。濾波多音頻(FMT)技術就是一種基于濾波器組調制的多載波傳輸技術，由Giovanni Cherubini等人于1999年提出[1][2]，并應用于高速數字用戶環路(VDSL)的接入，作為VDSL的物理層標準。它的特點是采用了子信道頻帶不重疊的劃分方法，具有良好的消除信道間干擾(ICI)的性能。
濾波器組技術是濾波多音頻技術的基礎，決定了整個FMT系統的性能。當系統對濾波器組的性能有某些特定要求時，現有的濾波器設計方法存在一定的缺陷，無法使FMT系統達到最優的性能。本文針對系統的某些特定要求對濾波器的設計方法進行優化，并研究基于優化的濾波器組的FMT系統在無線通信環境中的性能。
1 FMT及其濾波器組設計
1.1 FMT技術基本原理
FMT的系統模型如圖1所示。在發送端，M個并行的符號周期為T的調制符號流Ai(nT),i=0,1,…，M-1，經過系數的插值后再經過一個低通濾波器" title="低通濾波器">低通濾波器H( f )進行限帶，用一組等頻率間隔的子載波進行均勻的頻率搬移(頻移的大小為K/MT)，在發送端相加后進入信道；在接收端，用對應的子載波從接收到的信號中解調出調制信號，經過與原來的低通濾波器對應的匹配濾波器H*( f )對輸出信號進行系數的信號抽取，恢復符號流
。當K=M(或K>M)時，濾波器組被稱為嚴格(或非嚴格)抽樣的濾波器組，本文研究嚴格抽樣的FMT系統。
1.2 濾波器組的設計
從前述可以看出，濾波器組是FMT系統的基本組成，濾波器組的性能決定了整個FMT系統的性能，決定著子信道的數量、頻譜容忍度、系統實現復雜度和信號的延遲特性。在FMT系統中，通常使用濾波器組的設計方法有：窗函數法、切比雪夫逼近法以及最小均方誤差(L2)法等。采用上述方法設計的濾波器在某些特定場合并不能完全符合系統要求，也就不能使FMT系統達到最優，這就要求對以上設計方法進行優化。
2 濾波器組的優化設計
在FMT系統中，在采用最小均方誤差(L2)法設計濾波器時，為了解決理想濾波器幅頻特性的非連續性，需要專門指定濾波器幅頻特性的過渡帶，造成信號在過渡帶的能量損失，而且最小均方誤差法只能在均方誤差意義上使得濾波器的幅度誤差最小，而不能限制通帶和阻帶的峰值，使得在通帶和阻帶內可能造成信號較大的失真，影響了整個FMT系統的性能。若要提高系統的性能，就需要對濾波器峰值有嚴格限定，此時就要對最小均方誤差設計法進行優化。
2.1 優化算法
通過研究表明，無論是窗函數法、切比雪夫逼近法，還是最小均方誤差(L2)法等設計方法，都是為了削弱吉布斯現象的影響而采取的間接方法[3][4]。為解決上述FMT系統使用最小均方誤差(L2)法設計濾波器時存在的問題，筆者提出一種不明確指定的過渡帶邊緣頻率的設計方法，設ω0為濾波器通帶的理想截止頻率。新的優化算法如下：
其中δp和δs可在 [0,1]內變化。
設S為一頻率集合，S={ω1,…，ωr}，其中ωi∈[0,π]。將S劃分為兩個集合，其中S1={ω1,…，ωm}和，S2={ω1,…，ωr}且有:
S1={ω1,…，ωm}中的頻率分量滿足:
A(ω)=L(ω) (9)
S2={ωm+1,…，ωr}中的頻率分量滿足:
A(ω)=U(ω) (10)
為滿足最小均方誤差的條件，根據拉氏函數可設[5]
其中,0≤k≤M。且有:
當0≤i≤m時，
A(ωi)=L(ωi) (13)
當m+1≤i≤r時，
A(ωi)=U(ωi) (14)
令W(ω)=1, ω∈[0,π]代入式(12)，并考慮式(5)，在滿足式(13)、(14)的情況下，式(12)變為矩陣形式可寫為：
a+Gtu=c (15)
且有Ga=d (16)
其中，a是長度為(M+1)的濾波器的參數，a=a0,…am)t；u為拉格朗日算子，u=(u1,…ur)t；G為振幅A(ω)中余弦因子組成的矩陣，G中的元素為：
當0≤i≤m,1≤k≤M時，
d為振幅的矢量值，d中的元素di可由下式確定：
di=-L(ωi) 0≤i≤q
di=U(ωi) q+1≤i≤r??????????????????????????????????????? (20)
于是，式(15)、(16)可以寫成如下的矩陣運算形式：
至此便得到了濾波器的設計參數。
2.2 仿真實驗
通過上面的分析，可以看到優化后的最小均方誤差法可以在控制幅頻響應中通帶和阻帶的峰值的前提下，得到濾波器幅頻響應的均方誤差最小。
如圖2是采用L2法設計的低通濾波器的幅度響應，圖3是峰值受限的L2濾波器的幅度響應。通過觀察幅度響應可以看到優化前后的兩種濾波器性能的差別。L2法指定濾波器的過渡帶寬，其通帶內峰值起伏較大，而優化后設計的濾波器峰值起伏得到有效控制，減少了信號的幅度失真。
將使用這兩種方法設計的濾波器應用到FMT系統中，并在AWGN信道中進行頻偏情況下誤碼率的性能比較，如圖4所示。其中仿真參數為：采用16QAM調制方式以及接收端DFE均衡方式，SNR=13dB，數據個數為2 560 000。
將基于這兩種濾波器的FMT系統應用于瑞利多徑衰落信道對其進行誤碼率的性能比較，如圖5所示。其中仿真參數為：采用16QAM調制方式以及接收端FSE均衡方式，數據個數為2 560 000。
由圖4和圖5可以看出，優化后的濾波器由于其過渡帶具有很好銳截性，且通帶和阻帶的起伏很小，能夠取得更好的性能，使得系統受載波頻率偏移的影響更小，同時能夠有效減小系統在多徑信道中的誤碼率。
參考文獻
1 Cherubini.G, Eleftherious. E and Olcer. S. Filtered multitone modulation for VDSL[C]. In： Proc IEEE Globecom′99, Rio de Janeiro, Brazil, 1999：1139～1144
2 Cherubini. G, Eleftherious. E and Olcer. S. et al. Filter bank modulation techniques for very high speed digital subscriber lines[J]. IEEE Commun Magazine, 2000;38(5):98～104
3 Adams J W. FIR digital filters with least-squares stopbands subject to peak-gain constraints[J]. IEEE Trans Circuits Syst, 1991;39(4):376～388
4 Adams J W, Sullivan J, Hashemi R. et al. New approaches to constrained optimization of digital filters[J]. Proc IEEE Int Symp Circuits Syst, 1993;(3):80～83
5 Fletcher R. Practical Methods of Optimization John_Wiley and Sons.1987