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一种基于QR分解的观测矩阵优化方法

2021年电子技术应用第4期

周琦宾1，吴静1，2，余波1

1.西南科技大学信息工程学院，四川绵阳621000； 2.西南科技大学特殊环境机器人技术四川省重点实验室，四川绵阳621000

摘要： 在压缩感知理论中，最为关键的问题是观测矩阵的构造。影响图像重建质量的因素包括观测矩阵列向量间的独立性以及观测矩阵与稀疏基间的互相关性。基于此提出了一种优化算法。该算法采用QR分解以增大观测矩阵列独立性，同时对利用等角紧框架(Equiangular Tight Frame，ETF)收缩的Gram矩阵进行优化，通过更新每次梯度下降的方向，加快收敛速度，从而减小观测矩阵与稀疏基间的互相关性。仿真实验结果显示，在信号稀疏度或观测次数相同情况下，该优化观测矩阵的方法在提高图像重建质量与稳定性方面都有一定优势。

關鍵詞： 压缩感知观测矩阵 QR分解 Gram矩阵互相关性

中圖分類號： TN912.3；TP301.6
文獻標識碼： A
DOI：10.16157/j.issn.0258-7998.200413
中文引用格式： 周琦賓，吳靜，余波. 一種基于QR分解的觀測矩陣優化方法[J].電子技術應用，2021，47(4)：107-111.
英文引用格式： Zhou Qibin，Wu Jing，Yu Bo. An optimization method of observation matrix based on QR decomposition[J]. Application of Electronic Technique，2021，47(4)：107-111.

An optimization method of observation matrix based on QR decomposition

Zhou Qibin1，Wu Jing1，2，Yu Bo1

1.School of Information Engineering，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621000，China； 2.Sichuan Key Laboratory of Special Environmental Robotics，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621000，China

Abstract： In compressed sensing theory, the most critical issue is the construction of the observation matrix. The factors that affect the image reconstruction quality include the independence between the observation matrix column vectors and the cross-correlation between the observation matrix and the sparse basis. Based on this, an optimization algorithm is proposed. The algorithm uses QR decomposition to increase the independence of the observation matrix columns, and at the same time optimizes the Gram matrix contracted using an equiangular tight frame(ETF). By updating the direction of each gradient descent, the convergence rate is accelerated to reduce The cross-correlation between the small observation matrix and the sparse basis. Simulation experiment results show that the method of optimizing the observation matrix in this paper has certain advantages in improving the quality and stability of image reconstruction under the same signal sparsity or observation times.

Key words : compressed sensing；observation matrix；QR decomposition；Gram matrix；cross-correlation

0 引言

壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)是一種有別于傳統Shannon-Nyquist采樣定理的信號欠采樣理論。該理論指出，對于稀疏或可壓縮信號，可以通過線性投影的方式將大部分信號的信息投射在低維空間，然后利用非線性解碼的算法將信號恢復到原始狀態。

CS方法被廣泛應用于無線通信、模式識別和雷達成像等領域。觀測矩陣的設計是CS方法的關鍵研究內容之一，構造性能良好的觀測矩陣對于信號的壓縮觀測以及重構都起到了至關重要的作用^[1]。現有的文獻對觀測矩陣的約束條件展開了一系列的探究，文獻[2]中闡述了限制性等距原則(Restricted Isometry Property，RIP)；文獻[3]提出利用零空間性質作為觀測矩陣的約束條件，但由于觀測矩陣是否具備約束條件難以準確判斷，往往需要涉及組合復雜度的相關問題，因此該方法的實際應用具有一定難度。

文獻[4]中為有效測量觀測矩陣性能，將矩陣和稀疏基間的互相關性當做衡量標準，相關性越低，信號適應的稀疏度范圍越大，精確重建信號所需觀測值的數目越少；文獻[5]主要以Gram矩陣為基礎偽逆求解觀測矩陣，該研究采用了閾值函數，其中的收縮因子能夠根據需要進行調節，但是這種方法比較耗時，在收縮過程中可能會產生絕對值較大的相關系數；文獻[6]中ABOLGHASEMI V首次提出利用梯度下降法使得Gram矩陣逼近單位陣，但是該算法收斂速度較慢并且可能陷入局部最優；文獻[7]提出使用矩陣特征值分解對觀測矩陣進行優化，將特征值分解后的Gram矩陣的特征值取平均值，然后間接優化Gram矩陣的非對角線元素，該方法在一定程度上能夠降低矩陣的整體互相干性，但是在使用某些恢復算法(如SP算法)的情況下，可能無法重建原始信號，在適用范圍上有一定的局限性。

文獻[8]的研究表明，重構算法要想準確地實現恢復信號的目的，必須滿足的條件是使觀測矩陣列向量具備一定的線性獨立性，而且越強的獨立性能夠保證重建信號具有越高的質量。

通過梳理相關研究理論，本研究借助于QR分解的方式提高觀測矩陣列向量的獨立性，并將QR分解與自適應梯度下降觀測矩陣優化算法相結合，提出了一種Gram矩陣優化算法，并在實驗上對該方法的可行性進行驗證。

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作者信息:

周琦賓1，吳靜1，2，余波1

(1.西南科技大學信息工程學院，四川綿陽621000；

2.西南科技大學特殊環境機器人技術四川省重點實驗室，四川綿陽621000)

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