0 引言

    在高頻電磁問題中，一致性幾何繞射理論（UTD）應用非常廣泛^[1]，例如目標散射特性預估。因此，在準確獲得目標表面UTD繞射場問題上，表面爬行射線波追蹤起著非常大的作用^[2]。所以，首先要進行目標表面爬行波追蹤（測地線軌跡）。但是，實際上除了一些典型形體能夠直接得到測地線微分方程（GDE）外，在任意形狀的光滑物體表面如何測定測地線軌跡是一個巨大的挑戰(zhàn)。

    JHA R M^[3-5]提出了Geodesic Constant解析方法，但只在一般的拋物旋轉面適用。通常地，在工程應用上，很多目標被看作如木板、圓柱、圓錐和球等一些已經(jīng)有爬行波尋跡解析解的典型形體。但很難用這些典型形體去估計復雜形體，這似乎就限制了UTD方法的應用。

    因此，需要介紹一下數(shù)值爬行波追蹤算法，該方法基于離散三角面剖分模型表面，但是不能直接應用于UTD算法^[6]。除了用離散三角形面片建立復雜模型，它還可以描述NURBS曲面。而且，NURBS曲面由于它的高精度、少面片的特性，被引用到高頻電磁分析領域。當目標用NURBS曲面表示后，測地線軌跡可由GDE求解直接獲得。所以，一些數(shù)值方法被用來計算GDE。為了獲得NURBS曲面上的爬行波軌跡^[7]，歐拉方法效率高但是精度低，精度依賴于剖分面片外形，對于任意形狀模型可能會失效。

    為了提高在任意形狀NURBS表面爬行波追蹤的準確性和效率，本文提出了一種基于新型自適應變步長歐拉法的爬行波跟蹤算法。由于自適應變步長歐拉方法是基于傳統(tǒng)的歐拉法，從而保證了效率；并在數(shù)值迭代求解GDE的過程中引進形狀因子ξ，離散的步長可以及時自適應地糾正。因此，與傳統(tǒng)的歐拉法相比，該方法可以很容易地保證其準確性在任意形狀的NURBS表面上的爬行光線跟蹤。也就是說，它更適合于工程應用。

1 任意形狀目標NURBS曲面建模

    非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS)曲面是非均勻B樣條曲面的有理推廣。它被定義為：

    u、v參數(shù)域映射到3個空間可以在圖1中看到。

    下面在圖2中給出3個NURBS建模結果。其中圓柱的表面是均勻網(wǎng)格表面，而其他表面是不均勻網(wǎng)格表面。

2 任意NURBS曲面表面的爬行波追蹤算法

    對于源點和觀察點的位置，光滑曲面表面的繞射問題有3種類型：(1)源點和觀察點都不在表面且遠離表面，這種情況屬于光滑曲面散射問題；(2)源點在曲面上，觀察點遠離表面，此時為光滑曲面輻射問題；(3)源點與觀察點都在表面上，這就屬于耦合問題^[10]。

    所以，射線追蹤也有3種類型，根據(jù)圖3～圖5所示，在所有這些情況下，表面上的射線軌跡稱為爬行波，其被約束沿著測地線傳播。本文主要關注爬行波的射線追蹤，因為它是射線追蹤過程中最困難的一部分。

2.1 爬行波的入射點和出射點

    根據(jù)這兩個方程可以求解出NURBS曲面上大量的入射點與出射點。

2.2 基于自適應變步長歐拉法求解射線追蹤GDE

    由于任意形狀的表面上的爬行射線的路徑滿足GDE，因此可以將爬行射線的問題改為求解GDE的問題。一般來說，通過歐拉法求解GDE是一種簡單快捷的方法。但是根據(jù)研究，在大多數(shù)情況下由于傳統(tǒng)的歐拉法精度低，穩(wěn)定性不好，導致求解效果不好。

    對于非線性問題，基本上需要步進控制校正程序。因此，本文中，為提高光線跟蹤的準確性并確保效率，提出了自適應變步長歐拉方法來求解GDE。

    GDE方程如下：

其中，h是兩個相鄰離散點之間的步長，并且確定它是非常重要的。ξ是形狀因子（SF），用來自適應地控制每個離散步長。而ξ的值受制于對象的形狀，關于ξ的更多細節(jié)將在2.3節(jié)中給出。

    在數(shù)值計算中，可以計算多個離散點(u_i，v_i)來表示爬行波，i=0，1，2…。因此，根據(jù)離散化，上式可以重寫為：

    由式(13)可知，(u_i+2，v_i+2)能用(u_i+1，v_i+1)、(u_i，v_i)及ξ_i+1，i推導而出。必須計算出爬行射線最初的兩個坐標(u₀，v₀)、(u₁，v₁)及ξ_1，0，才能遞推出整個爬行射線。

    可以通過方程(4)獲得第一個點Q₀(u₀，v₀)，然后由微分幾何，第二個點可由Q₀在u，v各自方向切向量之和近似表示，如圖7所示。

    這里第二個點表示為：

    形狀因子的一般表達式在2.3節(jié)中給出。根據(jù)表達式，可以確定得到ξ_1，0。計算出(u₀，v₀)、(u₁，v₁)及ξ_1，0后，(u_i，v_i)可以根據(jù)式(12)隨著i的增加逐步迭代算出。

2.3 形狀因子?孜的推導

    微分方程的精度與步長h有關，步長越小精度越高。然而，在迭代求解爬行波射線軌跡上的離散點的過程中，算法效率因離散點數(shù)的增加而減小，而且，離散點越多，累積誤差越大，可能導致錯誤的結果。

    顯然，為了逼近如果在變量變化快的區(qū)域多取離散點而在變化慢區(qū)域少取離散點，就可以在保證計算效率的同時兼顧精度，所以合理提取離散點是很重要的。

    但是在實際情況中，無法得知確定的(u(s)，v(s))表達式，所以導致離散點無法合理提取。于是本文提出用形狀因子ξ來反映參數(shù)變化，用于確定離散步長。用ξ的離散值ξ_i+1，i來表示爬行射線相鄰點參數(shù)變化率。ξ_i+1，i的表達式如下：

    設為曲線C上P點處的單位切向量。P點處的離散編號為i。

    對方程(17)中的變量s求微分，可得單位切向量：

3 數(shù)值算例與分析

    理論上可以在一些典型物體（如圓柱體、錐體）上計算爬行射線，因此，可以從這些對象的分析結果中驗證所提出的方法是否有效。

3.1 圓柱體

    圖9所示為圓柱表面（均勻網(wǎng)格）爬行波射線傳播軌跡圖。圓柱的半徑為1 m，高為3 m。表1為爬行波尋跡結果，起始點為(1，0，0)。

    從表1可知，采用自適應變步長歐拉法得到的數(shù)值結果與解析方法的結果吻合得非常好，由此可證明該尋跡算法正確性。

3.2 任意曲面目標

    圖10所示為任意曲面表面（非均勻網(wǎng)格表面）爬行波射線傳播軌跡圖。根據(jù)微分幾何知識，球面上的數(shù)值結果可以直接由理論值得到驗證。表2為爬行波尋跡結果，起始點為(1.0，0.0，0.0)。

    如圖10所示，提出的方法結果與理論結果吻合較好。從表2和圖10可以看出，盡管隨著離散步長的增加歐拉方法的誤差減少了，但是耗時也增加了很多。更重要的是，如果離散步長繼續(xù)增加下去，結果完全錯誤，這意味著歐拉方法不穩(wěn)定。

4 結論

    對于任意形狀NURBS目標表面爬行波射線軌跡尋跡，本文提出了基于自適應變步長歐拉法的快速有效的尋跡算法。為了驗證該尋跡算法的正確性與有效性，給出了幾個典型驗證算例。相比于傳統(tǒng)的歐拉法，自適應變步長歐拉法不僅繼承了傳統(tǒng)歐拉法的效率高的優(yōu)勢，而且該算法適用于任意的光滑曲面。

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作者信息:

曹  拓，付  松，何思遠

（武漢大學 電子信息學院，湖北 武漢430072）