0 引言

    隨著城市建設的不斷推進，城軌，地鐵等便捷、無擁堵的交通工具正在公共交通系統中扮演著越來越重要的角色^[1]。超級電容儲能式城軌作為一種新興的城市軌道交通設備，利用了超級電容功率密度大，充放電速度快，壽命長的優點^[2]，不再需要大范圍架設的牽引電纜，而僅由車載超級電容組供電即可保證列車的正常運行。列車進站時，站臺充電機利用乘客上下車的30 s時間為車載超級電容組充電，以維持列車至下一站前的正常運行^[3]。

    實際運行測算中，需要至少維持430 A的電流使車載超級電容組在30 s內從500 V充滿電至900 V。保證充電電流從0 A平穩快速地上升至430 A，同時避免充電過程中出現的電流尖峰破壞功率器件，是設計儲能式城軌充電機所需解決的關鍵問題之一。

    考慮到上述的充電要求，儲能式城軌超級電容充電可歸結為一個帶約束的優化問題并采用模型預測控制(MPC)算法進行求解^[4]。考慮到基于開關器件的充電電路控制周期很短，將MPC應用于儲能式城軌超級電容充電需要解決優化目標快速實時求解的問題，而這也是MPC在電力電子領域應用的一大研究熱點^[5]。

    近年來，眾多學者提出了一類簡化或改進后的經典優化算法以降低MPC計算復雜度。文獻[6]通過對二次規劃問題的標準求解算法進行改進提高MPC在線求解的速度；文獻[7]引入固定障礙參數的機制，將傳統內點法求解由兩層迭代簡化為一層迭代，使MPC實時計算量大幅降低；文獻[8]將傳統的牛頓-拉夫遜算法進行擴展，使二次規劃問題的求解得到了大幅簡化。

    本文首先基于MPC算法設計超級電容充電控制率，在最優解求解時，采用改進的內點法實現快速求解。相較于傳統方法使障礙參數不斷逼近于0，僅用一個經過試驗驗證的固定參數進行求解；同時采用一種暖啟動機制，將該時刻求解值用作下一時刻的初始解，大大簡化求解的計算量。通過Matlab仿真對障礙參數進行選取，并利用縮比試驗平臺驗證快速充電策略的有效性。

1 系統建模

1.1 超級電容充電機模型

    超級電容充電機基于Buck電路搭建，其系統模型如圖1所示。其中采用經典的三分支模型^[9]對超級電容進行建模。依據實際需求，此處僅考慮在瞬態過程中占據主導作用的瞬態支路R_i C_i。

1.2 充電系統模型

    基于狀態空間平均法的系統模型為：

C=[1，0，0]，b=R_i C_i+R_leakC_i+R_leakC_f，a=1/C_iR_iR_leak。系統狀態量中i為電感電流，v為超級電容端電壓，i_c為濾波電容電壓。r為回路等效阻抗，L為電感，C_f為濾波電容，R_i和C_i分別為超級電容瞬態支路電阻和電容，R_leak為超級電容漏電阻。

    進一步取IGBT開關周期T_s為采樣周期，進而得到如式(2)所示的充電系統離散時域線性模型：

2 充電策略設計

    考慮到實際中超級電容充電系統的開關周期達到了1 kHz，本文中綜合考慮跟蹤精度及計算時間，選取預測時域P和控制時域M均為2。在此基礎上，可以得到如式(3)所示的目標函數，其中第一項為對期望電流的跟蹤，第二項為對占空比變化量的限制：

    在構建最大峰值電流約束之前，首先給出第k個周期內峰值電感電流的估計式：

    其中(v_in-v(k))d(k)/L代表了第k個周期內電感電流所增長的量。在該估計式的基礎上，可以得到如下的第k時刻及第(k+1)時刻的電感峰值電流約束關系式：

    最終所構建的模型預測控制問題轉化為一個準二次型規劃問題。最終的MPC優化目標如式(6)所示：

3 目標函數求解

3.1 固定障礙參數法求解

    首先引入對數形式的障礙函數將上一節中所構建的MPC優化問題不等式約束轉化為等式約束：

其中λ>0被稱為障礙參數。當λ趨向于0時，式(8)的解收斂于原MPC優化問題的解。

    不同于經典內點法，本文僅選用一個固定障礙參數λ帶入優化問題中進行求解，而不再使其逐漸收斂于0。盡管該種機制會導致求解值偏離最優解，但在Steven等人的經典的論文中證實^[7]，只要λ選取得當，控制器的性能并不會因為是近似最優解而受到明顯的削弱，而求解所需的時間卻可以大大的縮短。本文首先設定一個可以反映不同λ下實際控制性能的指標e(k)：

其中ε是常數，e(k)反映了不同時刻下輸出電流對參考值的跟蹤誤差。進而依據e(k)歷史曲線選取障礙參數λ。

    帶入固定障礙參數λ后，可以得到所構建MPC最優問題的最優控制序列D所需滿足的條件：

3.2 固定障礙參數選取

    Matlab中搭建電路及控制器，設置仿真參數如下：v_in=1 300(V)，L=10(mH)，r=0.01(Ω)，C_f=7 200(μF)，R_leak=9(kΩ)，R_i=0.02(Ω)，C_i=24.5(Ω)，T_s=0.001(Ω)。

    λ=1，λ=0.1，λ=0.001，λ=0.01時的e(k)歷史曲線如圖2所示。可以看出λ=0.001時，電流初始上升階段額e(k)峰值達到約5×10^-5，當電流趨于穩定后，在小范圍內規律的波動。分析可知，由于求解的控制量為近似最優解，其會在最優控制量附近小范圍波動，最終導致了輸出電流在期望值附近小范圍波動。經對比最終選取λ=0.001作為固定障礙參數。

3.3 暖啟動機制

    采用固定障礙參數機制后，每次求解所需迭代次數從約50次縮減為僅約10次。為進一步減少求解所需的迭代次數，本文引入另外一種稱為熱啟動的機制。該機制將(k-1)時刻所求解作為k時刻迭代初始解。該方法利用固定障礙參數法將MPC優化問題轉化為純牛頓迭代求解的特性，可進一步使每次迭代求解所需次數縮減為僅僅約5次。相關性能在后續試驗中得到進一步驗證。

4 仿真

    按3.2節設置仿真參數，固定障礙參數λ=0.001，并引入暖啟動機制求解，各仿真曲線如圖3～圖5所示。

    圖3可看出電流在前0.3 s內從0 A穩定上升至430 A，隨后開始保持穩定。當超級電容電壓上升至850 V，充電時間約為20 s時，電流開始緩慢下降，在約2.5 s內最終下降至100 A，直至充電結束。整個過程保持了快速而平穩的趨勢，未出現電流尖峰。

    圖4可看出控制量初始值較大，跌落后開始隨超級電容端電壓的升高穩步增加。電流從430 A降至100 A的過程中，由于期望電流曲線呈階梯快速下降的趨勢，占空比在0.4至1的范圍內有一段抖動，但總體趨勢逐漸趨于平緩。滿足了優化目標函數中對控制量的約束。

    圖5可看出從0 s開始，充電電容端電壓從500 V開始穩定上升，當升至850 V時，由于充電電流逐漸減小至100 A，超級電容端電壓上升速度減緩，最終在充電結束時達到900 V。

5 試驗驗證

    將實際充電系統進行了縮放，在實驗室完成進一步試驗驗證。已有的超級電容模組由18個2.7 V/3 500 F單體的單體串聯而成，超級電容負載由2個超級電容模組構成，其等效參數為97.2 V/97.2 F。最終選定以30 A電流對超級電容負載進行充電，其電壓變化范圍定為30 V～39 V。確定系統功率等級后，設計如圖6所示的驗證平臺，實物圖如圖7所示。

    圖8為基于驗證平臺的充電試驗數據。從實驗數據可看出，充電電流在0.5 s內上升至設定的30 A，盡管出現較小超調，但滿足電流快速平穩上升的需求。當超級電容電壓升至37 V，充電電流逐漸由30 A減為10 A，最終在超級電容電壓達到39 V時停止。整個充電過程充電電流按照期望曲線變化，且滿足了峰值電流約束，超級電容在設定時間內由30 V充電至39 V。

6 結論

    考慮到快速充電的需求及超級電容模型的復雜性，儲能式超級電容城軌列車的充電問題可以歸結為一個帶約束的最優問題進行求解。MPC在解決有限時域約束問題上有著天然的優勢，然而在短時間內求解目標函數是MPC應用至電力電子領域的一大難點。本文提出的改進內點法相較于傳統內點法，將求解目標函數所需的迭代步數從50步減小至約僅10步，結合后續提出的暖年啟動機制，使求解所需迭代步數縮減至僅約5步，在高效率完成求解的同時，保證了良好的控制效果。仿真及試驗可以看出，盡管選用固定障礙參數會帶來求解的一定偏差或波動，但整體效果是大大符合預期的。關于進一步優化該算法，提高控制精度的研究，將會在后續的工作中繼續展開。

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