文獻標識碼： A
文章編號： 0258-7998(2011)07-153-03
模乘運算在公鑰密碼系統中(例如RSA算法、橢圓曲線密碼算法（ECC）以及ElGamal算法等)有著廣泛的應用。Montgomery模乘算法利用易于硬件實現的加法和移位操作來實現大整數的模乘運算，避免了復雜的除法運算，從而大大提高了模乘運算的效率[1]。
本文提出一種高速可擴展的Montgomery乘法器設計方案，該方案是在Tenca提出的Booth-8 Montgomery模乘法器的基礎上，采用Booth-64編碼進行改進，使速度平均提高了48%。同時對數據通路進行了優化，使得流水線數據通路的平均延遲大大降低。
其中，k表示基，X為模乘運算的乘數，Y是被乘數，M是模數。其中，操作數長度為N，部分積用為S表示，Y、M和S分成NW個BPW bit的字進行運算，xj表示X的第j bit，Sk(i)表示第i個字的第k位，Ca、Cb表示進位，qyj、qMj分別是在計算部分積過程中Y和M的系數。
核心數據路徑采用流水線組織結構，每一級之間用寄存器隔開。每個MMcell單元完成一輪外循環，每個時鐘輸入Y、M、SS、SC的一個字參與運算，并把Y、M和計算出來的SS、SC傳遞該下一級。為了能使數據路徑可伸縮，加入了兩個FIFO分別用來存儲SS和SC。如圖1所示，NS是流水線級數，由面積和時間需求來決定。
2 基為64的高速Montgomery乘法器設計
Tenca提出的模乘器設計中Booth編碼采用的基為8，并且能夠支持操作數長度可變的模乘運算，對操作數按字進行運算,縮短了關鍵路徑的延遲，并且使用CSA(Carry Save Adder)提高了整體的系統性能。
通過分析,采用基為8的Booth編碼可以將部分積數量減少為原來的1/3，而采用基為64的Booth編碼則可以將部分積數量減少為原來的1/6。據此本文對Tenca提出的設計方案進行改進，因此提出基為64的高速Montgomery乘法器。
對于基為64的設計，乘數X每次掃描6 bit，經Booth編碼后得到7 bit的輸入數據，同時Y和M每次輸入一個字。乘數X的Booth編碼為：
3 性能分析與比較
對于基為64的Montgomery乘法器,計算一次模乘運算的總時鐘周期數時，需要考慮NW≤2NS和NW>2NS兩種情況，NW代表操作數所含的字數。一個MMcell需要兩個時鐘周期的執行時間，因此一個字經過流水線的總時鐘周期數是2NS+1。由于每次可處理6 bit，所以需
從表1可以看出，在不同條件下，本文的設計在性能上平均比Tenca的設計提高了48%。本文采用字長32 bit，級數NS=8實現基為64的Montgomery乘法器，且使用Verilog HDL語言實現上述設計，并使用ModelSim 對設計進行了仿真驗證；基于SMIC 0.18 μm CMOS標準數字邏輯工藝，利用Design Compiler 進行了綜合設計，結果顯示頻率達到251 MHz，面積為37 381門。
顧葉華在參考文獻[4]中對Tenca提出的流水線結構進行了優化，提出了一種基為4的Montgomery乘法器方案。面積和速度的比較如表2所示。從表中可以看出，本設計在512 bit和1 024 bit下具有最小的時間×面積的值，綜合性能最優。
本文對Tenca提出的基為8的可擴展Montgomery模乘器進行改進，采用了更高的基為64的設計，進一步減少了部分積的個數，縮短了運算時間。與Tenca在參考文獻[2]中的設計相比，時鐘周期數平均減少了48%，并且縮短了關鍵路徑的延遲相比，綜合性能具有明顯地提高。
參考文獻
[1] KOC C K, ACAR T, KALISKI B. Analyzing and comparing Montgomery multiplication algorithms[C]. IEEE Micro, 1996:26-33.
[2] TENCA A F, TODOROV G,KOC C K. High-radix design of a scalable modular multiplier[A]. Cryptography Hardware and Embedded System-CHES 2001. Springer Verlag, Berlin, Germany, 2001:189-205.
[3] 顏曉東，李樹國. 二次Booth編碼的大數乘法器設計[J].清華大學學報（自然科學版），2007，47(10)：1681-1684．
[4] 顧葉華，曾曉洋，趙佳，等. 一種新型操作數長度可伸縮的模乘器VLSI設計[J]. 計算機工程, 2007，33(19)：227-229．